Геометрия, 10 кл. Правильная усеченная пирамида. Впишите число.
Угол между высотой и апофемой правильной треугольной усечённой пирамиды равен 60°, площадь её боковой поверхности равна 6√3 см2. Чему равна площадь сечения этой усечённой пирамиды плоскостью, проходящей через её апофему и центр основания?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: угол между высотой и апофемой равен 60°, площадь боковой поверхности равна 6√3 см2.
Пусть апофема равна a, высота - h, сторона нижнего основания - b.

Так как пирамида правильная и треугольная, то боковые грани равнобедренные.
1) Найдем боковую грань (остроугольный треугольник, составленный вершиной усечённой пирамиды, одним из оснований и апофемой):
tg 30° = h / (b/2)
1 / √3 = h / (b/2)
b = 2h√3

2) Найдем боковую грань (остроугольный треугольник, составленный вершиной усечённой пирамиды, одним из оснований и апофемой):
Sin 30° = L / (a / 2)
0.5 = L / (a / 2)
a = 2L

3) Найдем bок L:
b = 2h√3
L = √ (a2 - 12 / 4) = √ (4L2 - 4h2)
3L2 = 4h2
L = 2h√3 / √3
L = 2h

Стоит заметить, что боковая грань у трапеции перпендикулярна ее главной диагонали, а значит, она равносильна радиус-вектору

4) Диаграмма разбиения трапеции на два прямоугольника будет:

|LL|
|__|
|LH|

где L - это длинна боковой грани трапеции, H - это высота трапеции

5) Найдем H:
tg 60° = H / L
√3 = H / 2h
H = 2h√3

6) Найдем площадь сечения:
S = 0.5bH
S = 0.5 2h√3 2h√3
S = 3h2

Ответ: площадь сечения этой усечённой пирамиды плоскостью, проходящей через её апофему и центр основания, равна 3h2.