исследовать функцию на интервалы выпуклости/вогнутости, зная, что х=-1/5- точка перегиба : y=x^(2/3)(1-x) . Построить график , чтобы было видно точку перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции на интервалы выпуклости/вогнутости найдем ее вторую производную и определим знак этой производной в окрестности точки перегиба.

Первая производная функции y'=2/3*x^(-1/3)(1-x)-x^(2/3).

Вторая производная функции y''=(2/3)(-1/3)x^(-4/3)(1-x)-(2/3)x^(-1/3)-2/3x^(-1/3)=-(2/9)x^(-4/3)(1-x)-2/3x^(-1/3).
Подставим значение x=-1/5 вторую производную:
y''=(-2/9)(-5/1)^(4/3)(2/5)-2/3(-5/1)^(1/3)=(-2/9)5(2/5)-2/3(-5)=-10(2/9)+10=-20/9+10=(-20+90)/9=70/9>0.

Таким образом, в точке перегиба x=-1/5 функция выпукла вниз.

Построим график функции y=x^(2/3)(1-x):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = x*(2/3) (1-x)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='y=x^(2/3)(1-x)')
plt.scatter(-1/5, (-1/5)*(2/3)(1-(-1/5)), color='red', label='Точка перегиба (-1/5, (-1/5)^(2/3)*(1-(-1/5)))')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике видно, что функция y=x^(2/3)(1-x) имеет точку перегиба при x=-1/5 и в этой точке функция выпукла вниз.