Скалярное произведение векторов. Даны четыре точки: А(-5;7;-7), В(5;-3;1), С(2;3;7), D(7;2;2), t=180 в ортормированном базисе {i;j;k}. Требуется:
а) вычислить длины сторон и углы в треугольнике АВС;
б) вычислить проекцию вектора AD на вектор ВС;
в) вычислить работу равнодействующей силы F сил F1=DA, F2=DB, F3=DC, приложенных к материальной точке D, которая под воздействием силы перемещается прямолинейно из точки D в точку пересечения медиан треугольника АВС;
г) найти координаты единичного вектора для вектора BD и записать, какие углы (острые или тупые) образуют вектор BD с базисными ортами i, j, k;
д) найти координаты вектора х, коллинеарного вектору CD и удовлетворяющего условию AB * x = t.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Длины сторон треугольника ABC равны:
AB = sqrt((5+5)^2 + (-3-7)^2 + (1+7)^2) = sqrt(400) = 20
AC = sqrt((-5-2)^2 + (7-3)^2 + (-7-7)^2) = sqrt(130)
BC = sqrt((5-2)^2 + (-3-3)^2 + (1-7)^2) = sqrt(29)

Углы треугольника ABC можно найти, используя косинусное правило:
cos(A) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC) = (400 + 130 - 29) / (2 20 sqrt(130))
cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 AB BC)
cos(C) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)

б) Проекция вектора AD на вектор BC равна:
proj_BC(AD) = (AD · BC) / |BC| = ((5-7)(-5) + (-3-2)(7) + (1-2)*(-7)) / sqrt(29)

в) Работа равнодействующей силы F равна скалярному произведению F на перемещение:
F = F1 + F2 + F3 = DA + DB + DC
Путь перемещения можно найти как сумму медиан треугольника.

г) Для нахождения единичного вектора для вектора BD необходимо найти его длину и разделить вектор на эту длину. Углы, образуемые вектором BD с базисными ортами, зависят от знаков координат вектора.

д) Найдем вектор х, который коллинеарен CD и удовлетворяет условию AB x = 180:
Учитывая коллинеарность CD и x, мы можем представить их в виде x = k CD.
Так как AB x = 180, то (5, -3, 1) (7k, 2k, 2k) = 180.
Отсюда следует, что 35k - 6k + 2k = 180, т.е. 31k = 180, k = 180 / 31.
Таким образом, координаты вектора x равны (180/31 7, 180/31 2, 180/31 * 2).