Задача из векторной алгебры
В треугольнике с вершинами A(4;-1;3) B(1;-3;4) C(3;-2;0) найти любой по модулю вектор биссектрисы угла C

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, найдем векторы сторон треугольника:

Вектор AB:
AB = B - A = (1 - 4; -3 + 1; 4 - 3) = (-3; -2; 1)

Вектор AC:
AC = C - A = (3 - 4; -2 + 1; 0 - 3) = (-1; -1; -3)

Теперь найдем угол между векторами AB и AC по формуле скалярного произведения:
cos(угол) = (AB AC) / (|AB| |AC|)
где AB * AC - скалярное произведение векторов AB и AC,
|AB| и |AC| - длины векторов AB и AC.

AB AC = (-3) (-1) + (-2) (-1) + 1 (-3) = 3 + 2 - 3 = 2
|AB| = sqrt((-3)^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(9 + 4 + 1) = sqrt(14)
|AC| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 1 + 9) = sqrt(11)

cos(угол) = 2 / (sqrt(14) * sqrt(11)) = 2 / sqrt(154)

Теперь найдем вектор биссектрисы угла C, который делит угол C пополам и направлен в сторону угла:

Вектор биссектрисы = сos(угол) (|AC|/|AB|) AB + |AC| * AC
где |AC|/|AB| - отношение длин векторов AC и AB.

|AC|/|AB| = sqrt(11) / sqrt(14)

Вектор биссектрисы = 2 / sqrt(154) (sqrt(11) / sqrt(14)) (-3; -2; 1) + sqrt(11) (-1; -1; -3)
= (2 / sqrt(154) sqrt(11) / sqrt(14) (-3); 2 / sqrt(154) sqrt(11) / sqrt(14) (-2); 2 / sqrt(154) sqrt(11) / sqrt(14) * 1) + (-sqrt(11); -sqrt(11); -3sqrt(11))
= (-3sqrt(11)/sqrt(14); -2sqrt(11)/sqrt(14); 2sqrt(11)/sqrt(14)) + (-sqrt(11); -sqrt(11); -3sqrt(11))
= (-3sqrt(11)/sqrt(14) - sqrt(11); -2sqrt(11)/sqrt(14) - sqrt(11); 2sqrt(11)/sqrt(14) - 3sqrt(11))

В итоге, любой по модулю вектор биссектрисы угла C равен:
(-3sqrt(11)/sqrt(14) - sqrt(11); -2sqrt(11)/sqrt(14) - sqrt(11); 2sqrt(11)/sqrt(14) - 3sqrt(11))