Решите через предел Какой сектор следует вырезать из круга радиуса , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нужно найти предел функции V(θ), где V(θ) - объем воронки, создаваемой при сгибании сектора круга с центром в вершине воронки.

Обозначим радиус круга как R, а угол сектора как θ. Тогда площадь сектора круга равна S(θ) = πR^2(θ/2π), а радиус воронки будет равен r = Rsin(θ/2).

Объем воронки можно найти, используя формулу объема усеченного конуса:
V(θ) = (1/3)πr^2h = (1/3)π(R^2sin^2(θ/2))h

где h - высота воронки, которая равна R - Rcos(θ/2).

Теперь найдем предел функции V(θ) при стремлении θ к π/2.

lim V(θ) = lim [(1/3)π(R^2sin^2(θ/2))(R - Rcos(θ/2))] = (1/3)πR^3lim[(sin^2(θ/2))(1 - cos(θ/2))] при θ→π/2

Рассчитав этот предел, мы получим максимальную вместимость воронки.

Таким образом, сектор следует вырезать из круга так, чтобы угол составлял π/2, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.