Найти площадь фигуры ограниченной линиями с помощью определенного интеграла, сделать рисунок y=ln, х=е2(в квадрате) y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x), x=e^2 и y=0, необходимо воспользоваться определенным интегралом.

Сначала построим график функции y=ln(x) и прямых х=e^2 и y=0:

[
\begin{array}{cc}
\includegraphics{graph1.png} & \includegraphics{graph2.png}
\end{array}
]

Для нахождения площади фигуры между кривыми сначала найдем точку пересечения кривой y=ln(x) и прямой x=e^2:

[
\ln(x) = e^2 \Rightarrow x = e^{e^2}
]

Итак, точка пересечения имеет координаты (e^{e^2}, e^2). Теперь можем записать определенный интеграл для нахождения площади:

[
S = \int_{e^2}^{e^{e^2}} \ln(x) dx
]

Вычислим данный интеграл:

[
S = [x\ln(x) - x]_{e^2}^{e^{e^2}} = e^{e^2} \cdot e^2 \ln(e^2) - e^{e^2} + e^2 \ln(e^2) - e^2
]

[
S = 2e^{e^2} \cdot 2 - e^{e^2} - 2 = 3e^{e^2} - e^{e^2} - 2
]

[
S = 2e^{e^2} - 2
]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x), x=e^2 и y=0, равна 2e^{e^2} - 2.