Комбинаторное правило умножения Для украшения зала используют золотые, бордовые и белые шары. Стойки из 7 шаров собирают из разных шариков в произвольном порядке. Сколько вариантов такой стойки может быть, чтобы она не была одноцветной (все шары не могут быть одинакового цвета)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество способов выбора шаров каждого цвета за $n_1$, $n_2$ и $n_3$ соответственно (где $n_1$ - количество золотых, $n_2$ - количество бордовых и $n_3$ - количество белых шаров).
Так как нам нужно избежать стойки одного цвета, то должно быть выполнено условие $n_1 \neq 7$, $n_2 \neq 7$ и $n_3 \neq 7$.

Таким образом, количество способов выбрать шары для стойки можно найти как количество всех комбинаций $(n_1, n_2, n_3)$ минус количество "недопустимых" комбинаций, то есть:
$$
{n_1 + n_2 + n_3 \choose 7} - 3
$$
где ${n_1 + n_2 + n_3 \choose 7}$ - общее количество комбинаций выбора 7 шаров из любого количества золотых, бордовых и белых шаров, а минус 3 учитывает "недопустимые" комбинации (когда все 7 шаров одного цвета).

Поскольку есть 3 возможных цвета, то нужно умножить полученное значение на 3:
$$
3 \cdot \left({n_1 + n_2 + n_3 \choose 7} - 3\right)
$$

Таким образом, количество вариантов стойки из разных цветов шаров равно $3 \cdot \left({n_1 + n_2 + n_3 \choose 7} - 3\right)$.