Решите задачу. подобие треугольников В параллелограмме ABCD, стороны которого относятся как 8 : 3, проведены биссектрисы углов BAD и ADC, пересекающие сторону BC в точках M и N соответственно. Прямые AM и DN пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника AED, если MN = 4, а высота параллелограмма, проведённая к стороне AD, равна 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны параллелограмма через 8x и 3x. Тогда площадь параллелограмма равна 24x^2.

Так как MN является высотой параллелограмма, проведенной к стороне AD, то точки M, N и E лежат на одной прямой. Поэтому площадь треугольника AED равна площади треугольника AEM плюс площадь треугольника END.

Из подобия треугольников мы можем записать, что AM/AB = EM/ED и DN/DC = EN/ED.

Так как AB = 8x и DC = 3x, получаем, что AM = 8x/11 и DN = 3x/11.

Из условия MN = 4 следует, что EM = EN = 4.

Тогда S(AEM) = AM EM / 2 = 8x/11 4 / 2 = 16x/11,
S(END) = DN EN / 2 = 3x/11 4 / 2 = 6x/11.

Итак, S(AED) = S(AEM) + S(END) = 16x/11 + 6x/11 = 22x/11 = 2x.

Теперь, зная, что высота параллелограмма равна 3, мы можем записать уравнение по площади: 24x^2 = 2x * 3, откуда x = 1/4.

Итак, площадь треугольника AED равна 2 * 1/4 = 1/2.