Найти расстояние между прямыми Расстояние между прямыми b1c и c1d в кубе abcda1b1c1d1, где точка k-середина ребра b1c1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения расстояния между прямыми b1c и c1d в кубе abcda1b1c1d1 сначала нужно найти координаты точек b, c, a и их центральных проекций a1, b1, c1, d1.

Пусть сторона куба равна a.

Координаты точек b, c, a следующие:
b = (0, a, 0),
c = (a, a, 0),
d = (a, 0, 0),
a = (0, 0, a).

Центральные проекции a1, b1, c1, d1 точек a, b, c, d будут находиться на серединах рёбер основания куба. Так как точка k является серединой ребра b1c1, то координаты точек b1 и c1 будут следующие:
b1 = (a/2, a, a/2),
c1 = (a, a/2, a/2).

Теперь рассмотрим вектора, проходящие через точки b, b1 и c, c1. Для нахождения расстояния между прямыми b1c и c1d, нужно найти расстояние между прямыми b1c1 и c1d1.

Векторы vb1c1 и vc1d1 принимают вид:
vb1c1 = (a/2, a - a/2, a/2) - (0, a, 0) = (a/2, -a/2, a/2),
vc1d1 = (a, a/2 - a, a/2) - (a, a/2, a/2) = (0, -a/2, 0).

Теперь найдем косинус угла между векторами, используя их скалярное произведение:
cos(α) = (vb1c1 vc1d1) / (|vb1c1| |vc1d1|),
где |vb1c1| и |vc1d1| - длины векторов vb1c1 и vc1d1 соответственно.

|vb1c1| = √((a/2)^2 + (-a/2)^2 + (a/2)^2) = √(a^2/4 + a^2/4 + a^2/4) = a√3/2,
|vc1d1| = √(0^2 + (-a/2)^2 + 0^2) = a/2.

cos(α) = ((a/2) 0 + (-a/2) (-a/2) + (a/2) 0) / (a√3/2 a/2) = (a^2/4) / (a^2√3/4) = 1/√3.

Таким образом, угол между прямыми b1c1 и c1d1 равен arccos(1/√3) = π/6.

Радиус сферы, вписанной в куб, равен a√3/6. Таким образом, можно сделать вывод, что расстояние между прямыми b1c и c1d равно радиусу вписанной сферы в куб, то есть a√3/6.