Сумма остатков от деления трёх последовательных
натуральных чисел на 2022 — простос число. Докажите, что одно из Сумма остатков от деления трёх последовательных
натуральных чисел на 2022 — простос число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Допустим, что сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел ( n, n+1, n+2 ) на 2022 является простым числом. Обозначим остатки от деления этих чисел на 2022 как ( rn, r{n+1}, r_{n+2} ) соответственно.

Тогда сумма остатков равна:
[ rn + r{n+1} + r_{n+2} ]

Так как ( r_{n+1} = (rn + 1) \mod 2022 ) и ( r{n+2} = (r_n + 2) \mod 2022 ), подставляем эти выражения в сумму:
[ r_n + (r_n + 1) + (r_n + 2) \mod 2022 = 3r_n + 3 \mod 2022 ]

Таким образом, получаем, что сумма остатков от деления трех последовательных натуральных чисел на 2022 не может быть простым числом, так как в любом случае она будет делиться на 3.

Следовательно, если сумма остатков от деления трех последовательных натуральных чисел на 2022 является простым числом, то обязательно одно из этих чисел делится на 2022.