Решите задачу по геометрии Две окружности `Ω` и `omega`ꙍ радиусов `R_1` и `R_2` c центрами `O_1` и `O_2` внешне касаются в точке `A` и обе касаются одной прямой `Ω`: в точке `B` и `omega`ꙍ – в точке `C`. Общая внутренняя касательная проходит через точку `A` и пересекает отрезок `BC` в точке `D` (рис. 1). Докажите, что
а) `/_BAC=90^@`;
б) `/_O_1DO_2=90^@`;
в) `BC=2sqrt(R_1R_2)`.






Рис. 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Файл с рисунком не предоставлен.

Попробуем решить задачу словесно.

а) Так как точки B, A и C лежат на одной прямой, то угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. По свойству углов, он равен половине центрального угла между точками касания B и C, то есть 90 градусов.

б) Рассмотрим треугольники O1DA и O2DA. У них стороны OD - общие, DA - общая, AO1 = AO2 (так как они равны радиусам окружностей). Также у них угол A равен 90 градусов (из пункта а). Следовательно, треугольники O1DA и O2DA подобны, и у них угол O1DO2 также равен 90 градусов.

в) Заметим, что треугольники O1AB и O2AC также подобны, так как у них углы при A равны (из пункта а) и углы при B и C прямые (так как BC и AB являются касательными). Из подобия треугольников: AB/O1A = AC/O2A.
AB = R1, AC = R2, O1A = O2A = R1 + R2.
Отсюда получаем уравнение: R1 / (R1 + R2) = (R2 / (R1 + R2)).
Решая его, находим R1 R2 = 1/4 (R1 + R2)^2.
Следовательно, BC = 2 sqrt(R1 R2).