Площадь криволинейной трапеции. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - x^2, у = х + 2 (рисунок!)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и провести горизонтальные линии для определения границ фигуры.

Прежде всего, найдем точки пересечения кривых:
4 - x^2 = x + 2
x^2 + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 или x = 1

Теперь определим верхнюю и нижнюю границы фигуры:
Для у = 4 - x^2:
x = -2: y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0
x = 1: y = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3

Для у = х + 2:
x = -2: y = -2 + 2 = 0
x = 1: y = 1 + 2 = 3

Таким образом, границы фигуры по оси у - это y = 0 и y = 3.

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми:
S = ∫[a,b] (f(x) - g(x))dx,
где f(x) и g(x) - уравнения кривых, a и b - точки пересечения.

S = ∫[-2,1] ((4 - x^2) - (x + 2))dx
S = ∫[-2,1] (4 - x^2 - x - 2)dx
S = ∫[-2,1] (-x^2 - x + 2)dx
S = [-1/3x^3 - 1/2x^2 + 2x] |-2,1
S = [(-1/31^3 - 1/21^2 + 21) - (-1/3(-2)^3 - 1/2(-2)^2 + 2(-2))]
S = [(-1/3 - 1/2 + 2) - (-8/3 - 2 + (-4))]
S = [(-1/3 - 1/2 + 2) - (-8/3 - 2 + 4)]
S = (-5/6 + 2) - (-10/3 + 2)
S = (-5/6 + 12/6) - (-10/3 + 6/3)
S = 7/6 - 4/3
S = 7/6 - 8/6
S = -1/6

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 4 - x^2 и у = х + 2, равна -1/6.