Кто умен в математике? 1) Трактор n-ую часть всего пути ехал со скоростью a км/ч, затем n-ую часть всего времени ехал со скоростью b км/ч. Найдите среднюю скорость трактора на всем пути. (Выразите через данные переменные)
2) В прямоугольнике проведена диагональ, так что один из углов равен 75 градусам и диагональ равна x. Найдите стороны этого прямоугольника без использования синуса, косинуса и тангенса. (Выразите через x)
3) Даны натуральные числа a, b и простое число p > 2. Известно, что a + b делится на p и a2 + b2 делится на p. Докажите, что a2 + b2 делится на p2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Средняя скорость трактора на всем пути будет равна общему пройденному расстоянию, поделенному на общее время проезда. Общее пройденное расстояние равно n/2 (a + b), общее время проезда равно n/2 (1/a + 1/b). Тогда средняя скорость трактора на всем пути (V) будет равна:
V = n/2 (a + b) / (n/2 (1/a + 1/b))
V = (a + b) / (1/a + 1/b)
V = (a + b) / ((a + b) / ab)
V = ab

2) Пусть одна сторона прямоугольника равна a, а другая b. Тогда, по теореме Пифагора, x^2 = a^2 + b^2. Так как один из углов равен 75 градусам, то a/b = tan(75). Учитывая это, мы можем выразить a и b через x без использования тригонометрических функций:
a = x / sqrt(1 + tan^2(75))
b = x * tan(75) / sqrt(1 + tan^2(75))

3) Из условия известно, что a + b делится на p и a^2 + b^2 делится на p. Тогда можем записать:
a ≡ -b (mod p) (1)
a^2 ≡ -ab (mod p) (2)

Умножим (1) на a и подставим в (2):
a^3 ≡ -ab^2 ≡ b^3 (mod p)

Так как p простое число, то gcd(a,b) = 1. По малой теореме Ферма имеем:
a^p-1 ≡ 1 (mod p)
b^p-1 ≡ 1 (mod p)

Из того, что a^3 ≡ b^3 (mod p), получаем:
(ab)^3 ≡ a^3 b^3 ≡ a^3 * a^3 ≡ a^6 ≡ 1 (mod p)

Таким образом, a*b ≡ 1 (mod p), что означает, что a и b взаимно обратные по модулю p. Поэтому a^2 + b^2 делится на p^2.