Задача по математике Пусть Х множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению x³+3хуу³ = 1. Докажите, что можно единственным способом построить равносторонний треугольник АВС так, чтобы все его вершины принадлежали множеству Х, и найдите координаты вершин этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для построения равностороннего треугольника АВС нам нужно найти три точки с координатами, удовлетворяющими уравнению x³+3хуу³ = 1, такие что расстояния между ними равны.

Предположим, что вершины треугольника принадлежат множеству Х и имеют координаты (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Так как треугольник равносторонний, то его стороны равны, а значит соответствующие расстояния между вершинами должны быть одинаковыми.

Расстояния между вершинами треугольника можно выразить формулой длины отрезка с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

d₁₂ = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Аналогично для остальных отрезков:

d₂₃ = √((x₃-x₂)² + (y₃-y₂)²)

d₁₃ = √((x₃-x₁)² + (y₃-y₁)²)

Из условия равностороннего треугольника имеем:

d₁₂ = d₂₃ = d₁₃

Подставляем координаты вершин в уравнение x³+3хуу³ = 1 и получаем систему уравнений, которую можно решить методом подстановки или методом неопределенных коэффициентов.

После нахождения координат вершин треугольника АВС остается проверить, что длины всех его сторон равны.