Нужна помощь
Геометрия. Задание 1. Обязательно с решением
В параллелограмме ABCD на сторонах BC и CD отметили точки M и N — середины сторон BC и CD соответственно. Найдите периметр параллелограмма ABCD, зная, что AC ⊥ BD, MN = 12 см, AC = 32 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обратим внимание на то, что AC - это диагональ параллелограмма, которая является диаметром окружности, описанной вокруг параллелограмма.

Из условия задачи имеем, что MN = 12 см, следовательно MN = AC/2 = 32/2 = 16 см.

Теперь рассмотрим треугольник AMC, в котором AC - гипотенуза. Так как AC - диаметр окружности, то угол AMC = 90 градусов.

По теореме Пифагора
AM^2 + MC^2 = AC^
AM^2 + (MN+NC)^2 = AC^
AM^2 + (16+NC)^2 = 32^
AM^2 + 16^2 + 216NC + NC^2 = 102
AM^2 + 256 + 32NC + NC^2 = 102
AM^2 + 32NC + NC^2 = 76
AM^2 + NC(32 + NC) = 768

Теперь рассмотрим треугольник BMD. Угол BMD также равен 90 градусам. Из этого треугольника получаем
BM^2 + MD^2 = BD^
BM^2 + (MN+ND)^2 = BD^
BM^2 + (12+ND)^2 = BD^
BM^2 + 12^2 + 212ND + ND^2 = BD^
BM^2 + 144 + 24ND + ND^2 = BD^
BM^2 + 24ND + ND^2 = 102
BM^2 + ND (24 + ND) = 102
BM^2 + ND^2 + 24*ND = 1024

Так как BC = AD и AM = DM (они оба равны половине диагонали), то BM = DM и у нас получается следующая система уравнений
AM^2 + NC(32 + NC) = 76
BM^2 + ND^2 + 24*ND = 1024

Решив данную систему уравнений, найдем NC и ND.

После того, как найдены NC и ND, мы можем найти периметр параллелограмма ABCD
ABCD = 2(BC+CD) = 2(2BM+2NC) = 4*(BM+NC)

Таким образом, найдем периметр параллелограмма ABCD.