Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. Как это доказать?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это с помощью теоремы Фундаментальной теоремы дифференциального исчисления.

Пусть f(x) - непрерывная функция на отрезке [a, b]. Рассмотрим функцию F(x), определенную как интеграл от f(x) на отрезке [a, x]:

F(x) = ∫[a,x] f(t) dt

Теперь проверим, что F(x) является первообразной для функции f(x).

Сначала заметим, что F'(x) = f(x) для любой точки x на отрезке [a, b]. Это следует из определения интеграла - производная от функции F(x) есть значение функции f(x).

Теперь проверим, что F(x) действительно является первообразной для f(x). Для этого нужно показать, что производная от F(x) равна f(x) в каждой точке отрезка [a, b]. Так как f(x) - непрерывная функция, то по теореме о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом:

d/dx ∫[a,x] f(t) dt = f(x)

Таким образом, мы показали, что F(x) = ∫[a,x] f(t) dt является первообразной для функции f(x).