Как доказать неравенство (1−x)^1/3 + (1+x)^1/3 ≤ 2 Требуется доказать данное неравенство (1−x)^1/3 + (1+x)^1/3 ≤ 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством между арифметическим и средним квадратическим:

Для любых двух положительных чисел a и b верно, что (a+b)/2 ≥ √(ab).

Применяя это неравенство к выражению (1−x)^1/3 + (1+x)^1/3, получим:

((1−x)^1/3 + (1+x)^1/3)/2 ≥ √((1−x)^1/3 * (1+x)^1/3).

Возведем обе части неравенства в куб:

((1−x) + (1+x))/8 ≥ √((1−x)(1+x)).

Упростим:

2/8 ≥ √(1−x^2).

1/4 ≥ √(1−x^2).

Теперь возведем обе части в квадрат:

1/16 ≥ 1−x^2.

x^2 ≥ 1−1/16 = 15/16.

x^2 ≤ 15/16.

Поскольку x является действительным числом, это неравенство выполняется для всех x, исходя из чего можно сделать вывод, что (1−x)^1/3 + (1+x)^1/3 ≤ 2.