Задача по геометрии Доказать, что для того чтобы в треугольнике один из углов был равен 60° или 120°. Необходимо и достаточно, чтобы расстояние от вершины этого угла до ортоцентра было равно радиусу описанной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC угол A равен 60° или 120°.

Рассмотрим случай, когда угол A = 60°. Пусть H - ортоцентр треугольника ABC, O - центр описанной окружности, R - радиус описанной окружности. Так как угол A = 60°, то угол ACB = 120° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Тогда угол CHB = 60°.

Так как угол CHB = 60°, то треугольник CHB является равносторонним, а значит, CH = HB. Также, так как угол ACB = 120°, то угол AHB = 60° и треугольник AHB является равносторонним, а значит, AH = HB. Следовательно, AH = HB = CH.

Рассмотрим треугольник AHO. Треугольник AHO также является равнобедренным, так как AO = AH и HO = CH. Следовательно, угол AOH = угол OAH = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Так как угол AOC = 2*угол BAC = 120°, то угол AOC = 60°.

Таким образом, угол AOH = угол AOC = 60°, что означает, что отрезок OH является радиусом описанной окружности и равен R.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда угол A = 120°.

Таким образом, для того чтобы в треугольнике один из углов был равен 60° или 120°, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от вершины этого угла до ортоцентра было равно радиусу описанной окружности.