Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 5. Найдите площадь его поверхности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Радиус сферы равен 5, следовательно, радиус окружности, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен 5.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из площадей его шести граней: двух оснований и четырех боковых сторон.

Площадь одного основания равна площади круга с радиусом 5, то есть S1 = πr^2 = 25π.

Площадь одной боковой стороны равна произведению длины и высоты прямоугольника, возьмем его за b и h. Так как радиус описанной окружности равен 5, то из подобия треугольников следует, что диагональ параллелепипеда равна 10, а боковые стороны b и h могут быть представлены как катеты прямоугольного треугольника, то есть b^2 + h^2 = 10^2. Так как объем прямоугольного параллелепипеда описанного около сферы равен 5π, то bhr = 5π.

Решив систему уравнений, найдем b и h.

b*h = 5π/r = 5π/5 = π.

Площадь одной боковой стороны равна площади прямоугольника с длиной 1 и шириной π, то есть S2 = b*h = π.

Итак, общая площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна S = 2S1 + 4S2 = 2*25π + 4π = 50π + 4π = 54π.

Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 5, равна 54π.