Найти многочлен наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющий своими корнями: 1;2;1-3i

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого нам нужно найти многочлен с этими корнями и затем привести его к наименьшей степени.

Итак, у нас есть три корня: 1, 2 и 1-3i. Поскольку коэффициенты многочлена действительные, то комплексный корень будет и его комплексно сопряженным. Таким образом, у нас есть корни: 1, 2 и 1-3i, а также 1+3i.

Теперь мы можем записать многочлен с этими корнями в виде произведения линейных множителей:

(x-1)(x-2)(x-(1-3i))(x-(1+3i)) = (x-1)(x-2)(x-1+3i)(x-1-3i)
= (x-1)(x-2)(x^2 - 2x + 1 - 9)
= (x-1)(x-2)(x^2 - 2x - 8)
= (x-1)(x-2)(x+2)(x-4)

Итак, многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корнями 1, 2 и 1-3i, будет:

f(x) = (x-1)(x-2)(x+2)(x-4)