Задания по векторной алгебре
по теме: ''Скалярное, векторное и смешанное произведения. Метод координат''. Даны две вершины А и В ромба АВСД и точка пересечения его диагоналей О(х; y; z). Найти координаты остальных вершин ромба.
А(7; 5; 9) В(3; 6; -1) О(1; 2; 3);

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем векторы (\overrightarrow{OA}), (\overrightarrow{OB}), (\overrightarrow{AB}):
[
\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 7 \ 5 \ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 3 \ 6 \end{pmatrix}
]
[
\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3 \ 6 \ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -4 \end{pmatrix}
]
[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \ 6 \ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \ 5 \ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \ 1 \ -10 \end{pmatrix}
]

Найдем координаты вершины C:
С - середина стороны AB: (\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \ \frac{1}{2} \ -5 \end{pmatrix})

Так как вершина C находится на отрезке, соединяющем центр ромба О и его вершину, то координаты вершины C будут равны:
[
C = O + OC = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \ \frac{1}{2} \ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ \frac{5}{2} \ -2 \end{pmatrix}
]

Найдем вершину D:
Точка D - образ О после поворота на 90 градусов вокруг прямой, проходящей через О перпендикулярно плоскости ромба. Так как D симметрично относительно середины стороны AC, то:
[
\overrightarrow{OD} = - \overrightarrow{OC} = - \begin{pmatrix} -2 \ \frac{1}{2} \ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ -\frac{1}{2} \ 5 \end{pmatrix}
]

Тогда координаты вершины D будут равны:
[
D = O + OD = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \ -\frac{1}{2} \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ \frac{3}{2} \ 8 \end{pmatrix}
]

Таким образом, координаты вершин ромба ABCD:
A(7; 5; 9), B(3; 6; -1), C(-1; 2.5; -2), D(3; 1.5; 8)