Найдите площади фигур, ограниченных заданными линиями:
1) параболой у = х² + 2х, и осью Ох;
2) графиками функций у = х² + 2 и у = 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой у = х² + 2х и осью Ох, нужно найти интеграл от функции у = х² + 2х в пределах отрезка х, где функция неотрицательна (то есть, х > -1).

Интегрируем функцию y = x² + 2x по отрезку от -1 до a:
S = ∫(x² + 2x)dx = (1/3)x³ + x² | -1^a = (1/3)a³ + a² - (1/3)(-1)³ - (-1)² = (1/3)a³ + a² + 4/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² + 2х и осью Ох, равна (1/3)a³ + a² + 4/3.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций у = х² + 2 и у = 6, нужно найти точки их пересечения, которые удовлетворяют у = х² + 2 и у = 6.

Подставим значение у = 6 в уравнение у = х² + 2:
6 = х² + 2,
х² = 4,
х = ±2.

Таким образом, точки пересечения графиков у = х² + 2 и у = 6 равны (-2, 6) и (2, 6).

Далее найдем интеграл от разности функций y = 6 - (x² + 2) в пределах от -2 до 2:
S = ∫(6 - x² - 2)dx = 6x - (1/3)x³ | -2^2 = 12 - (8/3) - (-12 + (8/3)) = 32/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х² + 2 и у = 6, равна 32/3.