В треугольнике АВС биссектриса угла ВАС равна 4. Окружность, построенная на этой биссектрисе 9.(дальше) В треугольнике АВС биссектриса угла ВАС равна 4. Окружность, построенная на этой биссектрисе 9. как на диаметре, делит стороны АВ и АС в отношении 2:1 и 1:1, считая от точки А. Найти площадь треугольника АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка D - точка пересечения окружности с стороной AC, E - точка пересечения окружности с стороной AB, F - точка пересечения биссектрисы с стороной AC. Также пусть BD = x, DC = 2x, AE = y, EB = 2y, BF = z, FC = 4-z.

Так как окружность, описанная на биссектрисе угла ВАС, делит стороны АВ и АС в отношении 2:1 и 1:1, получаем систему уравнений:

x + 2x =
y + 2y =
z + 4 - z = 9

Отсюда x = 3, y = 3, z = 5.

Из теоремы синусов получаем:

S(ΔABC) = (1/2) AB AC * sin(∠BAC)

S(ΔABC) = (1/2) (x + 3 + y) (2x + 3) * sin(∠BAC)

S(ΔABC) = (1/2) 9 9 * sin(∠BAC)

S(ΔABC) = 40.5

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 40.5.