Найдите площадь правильного 12-угольника ABCDE..., если длина диагонали AD равна 4.(дальше описание) В ответе запрещено использовать тригонометрические функции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади правильного 12-угольника по диагонали AD равной 4 можно найти радиус описанной окружности вокруг этого многоугольника.

Так как 12-угольник является правильным, то угол между любыми соседними диагоналями равен 360 градусов / 12 углов = 30 градусов.

Рассмотрим треугольник ADO, где O - центр описанной окружности вокруг 12-угольника. Так как угол AOD равен 30 градусов, а диагональ AD равна 4, то с помощью закона косинусов можно найти радиус описанной окружности:

4^2 = r^2 + r^2 - 2rrcos3
16 = 2r^2 - 2r^2sqrt(3)/
16 = 2r^2 - r^2sqrt(3)

Отсюда находим радиус r = 4 / sqrt(3)

Теперь можно найти площадь одного из 12 равносторонних треугольников, образующих 12-угольник:

Площадь треугольника AOD = 0,5 (4 / sqrt(3))^2 sin30 = (4 / sqrt(3))^2 / 2 = 8 / 3

Площадь всего 12-угольника равна 12 площадь треугольника AOD = 12 8 / 3 = 32

Итак, площадь правильного 12-угольника равна 32.