Чётные цифры и математическая ошибка Незнайки Незнайка утверждает, что ему удалось найти такое натуральное число n
, что каждое из чисел 3n
и 7n
содержит в своей десятичной записи только чётные цифры.
Умная Оля, победительница Тернопольского открытого турнира математических боёв имени Степана Мадеры, сразу заявила Незнайке, что он, как всегда, что-то напутал. Докажите, что Оля права.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что такое натуральное число n существует.

Так как каждое из чисел 3n и 7n содержит только чётные цифры, то сами числа 3n и 7n также должны быть чётными, так как последняя цифра каждого из них чётна. Также, такие числа должны оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8.

Рассмотрим возможные варианты для последней цифры числа n:

Если последняя цифра числа n - чётная, тогда её произведение на 3 и 7 также будет чётной, что не является противоречием.Если последняя цифра числа n - нечётная (оканчивается на 1, 3, 5, 7 или 9), тогда произведение на 3 или 7 будет иметь в конце 3 или 7 соответственно, что противоречит требованию о наличии только чётных цифр.

Таким образом, даже при единственно возможной последней цифре у числа n - чётной, оканчивающейся на 0, произведение такого числа на 3 будет нечетным, что противоречит условию. Следовательно, натуральное число n, описанное в задаче, не существует.

Следовательно, Незнайка ошибся, и умная Оля была права.