Кто шарит в математике? Известно, что a^2 + b^2 - 10 является степенью двойки. Найдите a и b. (с решением)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что только натуральные числа могут быть степенями двойки, поэтому a и b также должны быть натуральными числами.

Так как a^2 + b^2 - 10 является степенью двойки, то a^2 + b^2 - 10 = 2^n, где n - натуральное число.

Для простоты обозначим a^2 как x, тогда уравнение примет вид x + b^2 - 10 = 2^n.

Так как x и b^2 - 10 - это целые числа, то их сумма также должна быть целым числом, значит x = 2^n - (b^2 - 10) = 2^n - b^2 + 10.

Мы знаем, что разность двух квадратов (2^n - b^2) также является разностью двух квадратов, поэтому x = (2^(n/2) - b)(2^(n/2) + b).

Поскольку x - это квадрат некоторого числа, то x должен быть произведением одного и того же числа, а значит 2^(n/2) - b = 1 и 2^(n/2) + b = x.

Из первого уравнения получаем, что b = 2^(n/2) - 1. Подставим это значение во второе уравнение:

2^(n/2) + 2^(n/2) - 2 = x.

Теперь подставим x обратно как a^2 и найдем натуральные решения для уравнения a^2 + b^2 - 10 = 2^n:

a^2 + (2^(n/2) - 1)^2 - 10 = 2^n.

На данном этапе можно перебирать различные значения n и подставлять в уравнение, чтобы найти подходящие a и b.