Кто умен в математике? Может ли уравнение a^a + b^b = c^c иметь одновременно три целых корня? Если может, то найдите эти корни. (с подробным решением)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что a, b, c > 0, так как a^a, b^b, c^c положительны. Также, поскольку a, b, c целые числа, то a^a, b^b, c^c также будут целыми числами.

Теперь предположим, что уравнение a^a + b^b = c^c имеет три целых корня a, b, c.

Посмотрим на сумму остатков от деления чисел a, b, c на 3.

a^a mod 3 = 0^0 mod 3 = 1 mod
b^b mod 3 = 1^1 mod 3 = 1 mod
c^c mod 3 = 2^2 mod 3 = 1 mod 3

Таким образом, сумма остатков от деления чисел a, b, c на 3 равна 1 + 1 + 1 = 3, что делает невозможным, чтобы все три числа делились на 3.

Следовательно, уравнение a^a + b^b = c^c не может иметь одновременно три целых корня.