В треугольник вписана окружность
В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса 2 см. Найдите площадь этого треугольника, если его основание равно б см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание равнобедренного треугольника равно 2а, а высота опущена из вершины угла при основании на эту сторону равно b. Тогда площадь разбивается на 3 треугольника: прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник и треугольник, состоящий из радиуса окружности и отрезка, на который он делит основание.

При помощи теоремы Пифагора найдем стороны равнобедренного треугольника:
a^2 + b^2 = (2a)^2
a^2 + b^2 = 4a^2
b^2 = 3a^2
b = a * sqrt(3)

Рассмотрим треугольник, состоящий из радиуса окружности и отрезка, на который он делит основание:
Допустим, что радиус окружности делит основание перпендикулярно на две равные части. Тогда получится два равных треугольника со сторонами 2 см, а также равнобедренный треугольник со сторонами a, a и b.

Найдем площадь равнобедренного треугольника:
S = (a b) / 2
S = (a a sqrt(3)) / 2
S = (a^2 sqrt(3)) / 2

Теперь сложим площадь равнобедренного треугольника и две равные площади треугольников с радиусом 2 см:
S = (a^2 sqrt(3)) / 2 + 2 (1/2 2 2)
S = (a^2 sqrt(3)) / 2 + 4
S = (a^2 sqrt(3) + 8) / 2

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника вписанного в окружность радиуса 2 см и с основанием b см равна (a^2 * sqrt(3) + 8) / 2.