Пусть R[[x]] - кольцо формальных степенных рядов над R. Докажите, что отображение f*: Spec(R[[x]]) → Spec(R) сюръективно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Положим, что f: Spec(R[[x]]) → Spec(R) не является сюръективным. Это означает, что существует такой простой идеал I в кольце R, что для любого простого идеала P в кольце R[[x]] такого, что f(P) = I, найдется другой простой идеал в кольце R[[x]], скажем Q, такой, что f*(Q) ≠ I.

Теперь рассмотрим кольцо R/I. Для любого элемента r из R, обозначим его образ в кольце R/I как r'. Тогда рассмотрим элемент x из R[[x]] и его образ x' в R[[x]]/I. Поскольку R[[x]]/I изоморфно (R/I)[[x]], то существует простой идеал P' в кольце (R/I)[[x]], сопоставленный с Q.

Теперь рассмотрим образ прообраза P в R[[x]]/I. Это будет некоторый простой идеал P'' в R[[x]]/I. Поскольку f(P) = I, то P содержит все элементы вида a+bx, где a из I, а b из R. Тогда P'' содержит все элементы вида a+bx, где a из I, а b из R. Поскольку P' содержит P'', а P' - прообраз P в R[[x]]/I, получаем, что f(P') = I.

Противоречие с изначальным предположением о том, что f не сюръективно. Значит, отображение f сюръективно.