Вычислите значения функции и по возможности найдите её Функция f(n) определена для всех натуральных n и принимает целые неотрицательные значения. Известно, что:
• а) при любых натуральных m и n выражение f(m+n)-f(m)-f(n) равно либо 0, либо 1;
• б) f(2)=0;
• в) f(3)>0;
• г) f(9999)=3333.
Найдите f(1982), f(2017).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используя условия задачи, можно найти значения функции f(1982) и f(2017).

Сначала найдем f(1982):
Заметим, что 1982 = 2 + 1980 = 1 + 1981. Из условия (а) получаем, что f(1982) - f(2) - f(1980) = 0 или 1 и f(1982) - f(1) - f(1981) = 0 или 1.

Так как f(2) = 0, то первое уравнение даёт нам f(1980) = 0.
Из условия (а) следует, что f(1981) = 1, так как f(1982) - f(2) - f(1980) = f(1982) - 0 - 0 = 0 или 1, и так как f(1982) - f(1) - f(1981) = 0 или 1, то f(1982) = 0 или f(1982) = 1. Учитывая, что f(1982) > 0, то f(1982) = 1.

Итак, f(1982) = 1.

Теперь найдём f(2017):
Заметим, что 2017 = 3 + 2014 = 2 + 2015. Из условия (а) получаем, что f(2017) - f(3) - f(2014) = 0 или 1 и f(2017) - f(2) - f(2015) = 0 или 1.

Так как f(3) > 0, то первое уравнение даёт нам f(2014) = 1.
Из условия (а) следует, что f(2015) = 1, так как f(2017) - f(2) - f(2015) = f(2017) - 0 - 1 = 0 или 1, и так как f(2017) - f(3) - f(2014) = 0 или 1, то f(2017) = 0 или f(2017) = 1. Учитывая, что f(2017) > 0, то f(2017) = 1.

Итак, f(2017) = 1.