В равнобедренном треугольнике АВС угол В=120 градусов.Радиус окружности,описанной около треугольника,равен 6√2. Найдите расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностями.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть О - центр описанной окружности, I - центр вписанной окружности, а R - радиус описанной окружности.

Так как треугольник АВС равнобедренный, то для него выполнено соотношение: BC = AC = 2R.

Из этого следует, что AC = 2R = 6√2, откуда R = 3√2.

Также из равнобедренности треугольника мы знаем, что угол OAC = 60 градусов, так как это половина угла В.

Теперь можем составить прямоугольный треугольник OAC, где OA = OI + R, OC = IC + R и AC = OI + IC.

В прямоугольном треугольнике OAC можем применить теорему косинусов:
(ОА)^2 = (AC)^2 + (OC)^2 - 2 AC OC * cos(OAC).

Подставляем известные значения:
(ОИ + R)^2 = (OI + IC)^2 + (IC + R)^2 - 2 (OI + IC) (IC + R) * cos(60).

(ОИ + 3√2)^2 = (ОИ + 2√2)^2 + (2√2 + 3√2)^2 - 2 (ОИ + 2√2) (2√2 + 3√2) * 1/2.

(ОИ + 3√2)^2 = (ОИ + 2√2)^2 + 5√2^2.

Разрешим это уравнение относительно ОИ и найдем расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями.