Для вычисления длины дуги кривой Y = ln(sinx) от x = π/3 до x = π/2 используем формулу длины дуги кривой:
L = ∫ [a, b] √(1 + (dy/dx)²) dx
где dy/dx - производная функции Y по X.
Сначала найдем производную функции Y = ln(sinx) Y' = (1/sinx) * cos Y' = cosx/sinx
Теперь подставим производную в формулу для вычисления длины дуги кривой:
L = ∫ [π/3, π/2] √(1 + (cosx/sinx)²) d L = ∫ [π/3, π/2] √(1 + cot²x) d L = ∫ [π/3, π/2] √(csc²x) d L = ∫ [π/3, π/2] cscx d L = ln|cscx - cotx| ∣ [π/3, π/2 L = ln|csc(π/2) - cot(π/2)| - ln|csc(π/3) - cot(π/3) L = ln|1-0| - ln|2-√3|
L = ln|1| - ln|2-√3 L = 0 - ln(2-√3)
L = -ln(2-√3)
Таким образом, длина дуги кривой Y = ln(sinx) от x = π/3 до x = π/2 равна -ln(2-√3).
Для вычисления длины дуги кривой Y = ln(sinx) от x = π/3 до x = π/2 используем формулу длины дуги кривой:
L = ∫ [a, b] √(1 + (dy/dx)²) dx
где dy/dx - производная функции Y по X.
Сначала найдем производную функции Y = ln(sinx)
Y' = (1/sinx) * cos
Y' = cosx/sinx
Теперь подставим производную в формулу для вычисления длины дуги кривой:
L = ∫ [π/3, π/2] √(1 + (cosx/sinx)²) d
L = ∫ [π/3, π/2] √(1 + cot²x) d
L = ∫ [π/3, π/2] √(csc²x) d
L = ∫ [π/3, π/2] cscx d
L = ln|cscx - cotx| ∣ [π/3, π/2
L = ln|csc(π/2) - cot(π/2)| - ln|csc(π/3) - cot(π/3)
L = ln|1-0| - ln|2-√3|
L = ln|1| - ln|2-√3
L = 0 - ln(2-√3)
L = -ln(2-√3)
Таким образом, длина дуги кривой Y = ln(sinx) от x = π/3 до x = π/2 равна -ln(2-√3).