Для вычисления длины дуги кривой Y = ln(sinx) от x = π/3 до x = π/2 используем формулу длины дуги кривой:

L = ∫ [a, b] √(1 + (dy/dx)²) dx

где dy/dx - производная функции Y по X.

Сначала найдем производную функции Y = ln(sinx):
Y' = (1/sinx) * cosx
Y' = cosx/sinx

Теперь подставим производную в формулу для вычисления длины дуги кривой:

L = ∫ [π/3, π/2] √(1 + (cosx/sinx)²) dx
L = ∫ [π/3, π/2] √(1 + cot²x) dx
L = ∫ [π/3, π/2] √(csc²x) dx
L = ∫ [π/3, π/2] cscx dx
L = ln|cscx - cotx| ∣ [π/3, π/2]
L = ln|csc(π/2) - cot(π/2)| - ln|csc(π/3) - cot(π/3)|
L = ln|1-0| - ln|2-√3|

L = ln|1| - ln|2-√3|
L = 0 - ln(2-√3)

L = -ln(2-√3)

Таким образом, длина дуги кривой Y = ln(sinx) от x = π/3 до x = π/2 равна -ln(2-√3).