Как доказать, что если xn стремится к a, то sin(xn) -> sin(a)??

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения необходимо воспользоваться определением сходимости последовательности и свойствами непрерывности функции синус.

По определению сходимости последовательности xn к a, мы имеем:

для любого эпсилон > 0 существует номер N, начиная с которого все члены последовательности xn находятся на расстоянии меньше эпсилон от a, т.е. |xn - a| < эпсилон для всех n >= N.

Таким образом, у нас есть последовательность xn, сходящаяся к a. Теперь, по свойству непрерывности функции синус, мы имеем:

lim sin(xn) = sin(lim xn).

Подставляя a вместо lim xn, получаем:

lim sin(xn) = sin(a).

Таким образом, мы доказали, что если последовательность xn стремится к a, то sin(xn) стремится к sin(a).