Произведение радиуса вписанной в треугольник АВС окружности и одного из радиусов вневписанной окружности равно площади данного треугольника. Произведение большей стороны треугольника АВС и другого из радиусов вневписанной окружности равно удвоенной площади треугольника АВС. Найдите углы треугольника АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а радиус вневписанной окружности, соответствующий большей стороне, равен r1; стороны треугольника АВС равны a, b, c.

Согласно условию:
1) r r1 = S, где S - площадь треугольника, то есть rr1 = S. Обозначим S = h a / 2, где h - высота из вершины А.
2) r1 c = 2 S, откуда r1 c = h * a.

Рассмотрим правильные треугольники АВС и A'B'C'. Внимательно изучим уравнения, записанные выше,
rr1 = S и r1 c = h a
есть еще два уравнения на r и r1. Псммотроим из уравнения
rr1 = S
что r1 = S/r и из уравнения
r1 c = h a
что r S/r = S/c => r = c
Подставляем, что r = r1 = c в уравнение r r1 = S и получаем r^2 = S, что означает, что радиус вписанной и радиус вневписанной окружиностей равны большей стороне треугольника АВС.

Учитывая это, у нас есть равные стороны темпреугольника, а значит, углы АВС также равны. Итак, углы треугольника АВС равны 60 градусов.