Домашние задание по алгебре X^2-5x-(1/x^2-5x+7)>=-5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, перенесем все члены неравенства в левую часть:

X^2 - 5x - (1/x^2 - 5x + 7) + 5 >= 0

Упростим выражение:

X^2 - 5x - 1/x^2 + 5x - 7 + 5 >= 0

X^2 - 1/x^2 - 2 >= 0

Приведем дробь к общему знаменателю:

(x^4 - 1) / x^2 >= 0

(x^2 - 1)(x^2 + 1) / x^2 >= 0

(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) / x^2 >= 0

Теперь рассмотрим знак этого выражения в каждом из интервалов (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞).

1) Интервал (-∞, -1):

В этом интервале все три множителя отрицательны, поэтому выражение положительное

2) Интервал (-1, 0):

Первые два множителя отрицательны, третий положительный, поэтому выражение отрицательное

3) Интервал (0, 1):

Первый множитель положительный, второй отрицательный, третий положительный, поэтому выражение отрицательное

4) Интервал (1, +∞):

В этом интервале все три множителя положительные, поэтому выражение положительное

Таким образом, неравенство X^2 - 5x - (1/x^2 - 5x + 7) >= -5 выполняется на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).