Уравнение x^3 - 6x^2 + 3x-a=0 имеет три корня, образующих арифметическую прогрессию. Найдите значение параметра a.
Указание. Чтобы решить эту задачу, потребуется теорема Виета для кубического уравнения (не входит в это задание)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть корни уравнения x^3 - 6x^2 + 3x - a = 0 образуют арифметическую прогрессию и равны a, b, c.

Тогда имеем
a + b + c =
ab + ac + bc =
abc = a

Так как корни образуют арифметическую прогрессию, то b = a + d и c = a + 2d, где d - шаг прогрессии.

Подставим b и c в уравнение a + b + c = 6
a + a + d + a + 2d =
3a + 3d =
a + d = 2

Также подставим b и c в уравнение ab + ac + bc = 3
a(a + d) + a(a + 2d) + (a + d)(a + 2d) =
a(a + a + d) + (a^2 + 2ad + ad + 2d^2) =
2a^2 + 3ad + 2d^2 =
Подставляем a + d = 2
2a^2 + 3a2 + 24 =
2a^2 + 6a + 8 =
2a^2 + 6a + 5 = 0

Так как у нас есть только одно значение параметра a, уравнение должно иметь единственный корень. Значит дискриминант должен быть равен нулю
D = 6^2 - 425 = 36 - 40 = -4

Таким образом, уравнение 2a^2 + 6a + 5 = 0 имеет единственный корень, значит a = 1.

Итак, значение параметра a равно 1.