Задача по олимпиадной математике Женя хочет раскрасить числа 1,2,3, .... в три цвета: белый синий и красный так, чтоб каждый их них цветов присутствовал и если числа x и y покрашены в два разных цвета, то число x+y покрашено в третий цвет. Сможет ли она это сделать?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, Женя может раскрасить числа 1, 2, 3, ... в три цвета (белый, синий и красный), соблюдая заданные условия.

Рассмотрим следующее правило раскраски:

Пусть числа, которые дают в сумме четное число, раскрашиваются в один цвет (например, в белый).Пусть числа с нечетными суммами раскрашиваются в два других цвета (например, синий и красный).

Мы можем раскрасить числа следующим образом:

Числа с остатком 0 по модулю 3 (то есть числа 3, 6, 9, ...) будут окрашены в белый цвет.Числа с остатком 1 по модулю 3 (то есть числа 1, 4, 7, ...) будут окрашены в синий цвет.Числа с остатком 2 по модулю 3 (то есть числа 2, 5, 8, ...) будут окрашены в красный цвет.

Теперь проверим, что условия задачи выполняются:

Каждое число раскрашено.Каждый цвет присутствует, так как присутствуют числа с остатками 0, 1 и 2 по модулю 3.Если x и y разных цветов:
Если x и y белые, тогда x+y можно получить из (3n + 0) + (3m + 0), что также белый.Если x белое и y синее (или красное), тогда x+y = (3n + 0) + (3m + 1) = 3n + 1, что синий. Аналогично, если x белое и y красное, то x+y = 3n + 2, что красный.Если x синий и y красный, x+y = (3n + 1) + (3m + 2) = 3(n+m) + 3, что дает остаток 0 (белый).

Таким образом, структура раскраски удовлетворяет всем условиям: любой набор двух чисел разного цвета всегда будет давать число третьего цвета.

Следовательно, Женя сможет выполнить раскраску, соответствующую условиям задачи.