Задача по Математике Известно, что когда в компьютер вводят число n, то счётчик в его памяти увеличивается на величину, равную остатку от деления на 3. При этом занесенный вирус каждый раз, когда n делится на 5, уменьшает счетчик на 2.
Изначально счётчик равен нулю. Программист ввел последовательно все натуральные числа от одного до A, и счётчик стал равен 94. Чему могло быть равен A?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберем, как работает счётчик для каждого числа ( n ) от 1 до ( A ):

Увеличение счётчика: Счётчик увеличивается на остаток от деления числа ( n ) на 3. Возможные остатки:

Если ( n \equiv 0 \mod 3 ), то остаток 0.Если ( n \equiv 1 \mod 3 ), то остаток 1.Если ( n \equiv 2 \mod 3 ), то остаток 2.

Уменьшение счётчика: Если ( n \div 5 ), то счётчик уменьшается на 2.

Мы можем рассмотреть, сколько раз счётчик будет увеличиваться и уменьшаться, чтобы добиться конечного значения 94.

Увеличение счётчика

Посчитаем количество чисел ( n ) от 1 до ( A ):

Количество чисел, дающих остаток 0 при делении на 3: (\left\lfloor \frac{A}{3} \right\rfloor)Количество чисел, дающих остаток 1 при делении на 3: (\left\lfloor \frac{A + 1}{3} \right\rfloor)Количество чисел, дающих остаток 2 при делении на 3: (\left\lfloor \frac{A + 2}{3} \right\rfloor)

Следовательно, общее увеличение счётчика от 1 до ( A ):

( S = \left\lfloor \frac{A + 2}{3} \right\rfloor \cdot 2 + \left\lfloor \frac{A + 1}{3} \right\rfloor \cdot 1 )Уменьшение счётчика

Теперь посчитаем, сколько раз ( n ) делится на 5:

Количество таких ( n ): (\left\lfloor \frac{A}{5} \right\rfloor)Каждое из этих делений уменьшает счётчик на 2. То есть, общее уменьшение:( U = 2 \cdot \left\lfloor \frac{A}{5} \right\rfloor )Общее уравнение

Теперь можем составить уравнение для счётчика:
[
S - U = 94
]
или
[
\left( 2 \left\lfloor \frac{A + 2}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{A + 1}{3} \right\rfloor \right) - 2 \left\lfloor \frac{A}{5} \right\rfloor = 94
]

Подбор значений ( A )

Посмотрим на различные значения ( A ) и вычислим:

Если ( A = 100 ):
[
\left\lfloor \frac{100 + 2}{3} \right\rfloor = 34, \quad \left\lfloor \frac{100 + 1}{3} \right\rfloor = 33 \quad \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20
]
[
S = 2 \cdot 34 + 33 = 68 + 33 = 101
]
[
U = 2 \cdot 20 = 40
]
[
101 - 40 = 61 \quad \text{(меньше 94)}
]

Если ( A = 150 ):
[
\left\lfloor \frac{150 + 2}{3} \right\rfloor = 50, \quad \left\lfloor \frac{150 + 1}{3} \right\rfloor = 50 \quad \left\lfloor \frac{150}{5} \right\rfloor = 30
]
[
S = 2 \cdot 50 + 50 = 100 + 50 = 150
]
[
U = 2 \cdot 30 = 60
]
[
150 - 60 = 90 \quad \text{(близко к 94)}
]

Если ( A = 151 ):
[
\left\lfloor \frac{151 + 2}{3} \right\rfloor = 51, \quad \left\lfloor \frac{151 + 1}{3} \right\rfloor = 51 \quad \left\lfloor \frac{151}{5} \right\rfloor = 30
]
[
S = 2 \cdot 51 + 51 = 102 + 51 = 153
]
[
U = 60
]
[
153 - 60 = 93 \quad \text{(меньше 94)}
]

Если ( A = 152 ):
[
S = 2 \cdot 51 + 51 = 102 + 51 = 153
]
[
U = 60
]
[
153 - 60 = 93 \quad \text{(по-прежнему меньше 94)}
]

Если ( A = 155 ):
[
S = 2 \cdot 52 + 52 = 104 + 52 = 156
]
[
U = 62
]
[
156 - 62 = 94 \quad \text{(удовлетворяет!)}
]

Следовательно, ( A ) могло быть равен 155.