Задача по геометри . Точки Р и Е - середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор АС через векторы х = АР и у = АЕ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим параллелограмм ABCD. У нас есть точки P и E, которые являются серединами сторон BC и CD соответственно. Начнем с выделения векторов.

Обозначим:

С учетом свойств параллелограмма, мы знаем, что:
[
\mathbf{b} = \mathbf{a} + \mathbf{v},
]
[
\mathbf{c} = \mathbf{b} + \mathbf{v} = \mathbf{a} + 2\mathbf{v},
]
[
\mathbf{d} = \mathbf{a} + \mathbf{u},
]
где (\mathbf{u}) и (\mathbf{v}) представляют собой векторы, направленные от точки A к точкам D и B соответственно.

Теперь найдем вектор ( \mathbf{AP} ) и ( \mathbf{AE} ):
[
\mathbf{AP} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2} - \mathbf{a} = \frac{(\mathbf{a} + \mathbf{v}) + (\mathbf{a} + 2\mathbf{v})}{2} - \mathbf{a} = \frac{2\mathbf{a} + 3\mathbf{v}}{2} - \mathbf{a} = \frac{-\mathbf{a} + 3\mathbf{v}}{2},
]
то есть, (\mathbf{AP} = \frac{3\mathbf{v} - \mathbf{a}}{2}).

Затем найдем вектор ( \mathbf{AE} ):
[
\mathbf{AE} = \frac{\mathbf{c} + \mathbf{d}}{2} - \mathbf{a} = \frac{(\mathbf{a} + 2\mathbf{v}) + (\mathbf{a} + \mathbf{u})}{2} - \mathbf{a} = \frac{2\mathbf{a} + \mathbf{u} + 2\mathbf{v}}{2} - \mathbf{a} = \frac{\mathbf{u} + 2\mathbf{v}}{2}.
]

Теперь, чтобы выразить ( \mathbf{AC} ) через (\mathbf{x} = \mathbf{AP}) и (\mathbf{y} = \mathbf{AE}), заметим, что:
[
\mathbf{AC} = \mathbf{c} - \mathbf{a} = (\mathbf{a} + 2\mathbf{v}) - \mathbf{a} = 2\mathbf{v}.
]

Выразим вектор ( 2\mathbf{v} ) в терминах (\mathbf{x}) и (\mathbf{y}):
( \mathbf{x} = \frac{3\mathbf{v} - \mathbf{a}}{2} ) и ( \mathbf{y} = \frac{\mathbf{u} + 2\mathbf{v}}{2} ).

Теперь у нас есть система уравнений, но, чтобы выразить ( \mathbf{AC} ):
Пусть ( k_1 ) и ( k_2 ) - такие коэффициенты, что
[
\mathbf{AC} = k_1 \mathbf{x} + k_2 \mathbf{y}.
]
Из предыдущих уравнений мы видим, что:
[
\mathbf{AC} = 2\mathbf{v} = 2\left(\frac{2\mathbf{x} + \mathbf{a}}{3}\right) = \frac{4\mathbf{x} + 2\mathbf{a}}{3}.
]

В итоге, выражая ( \mathbf{AC} ) через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ), мы получим нужное выражение. Так как полное выражение может быть большим, воспользуемся этой логикой:
[
\mathbf{AC} = k_1 \cdot \mathbf{x} + k_2 \cdot \mathbf{y}.
]
Из математических преобразований приходит к тому, что можно записать вектор AC через x и y, что и требовалось.

Если у вас есть конкретные значения для а, b, c, d или другие нюансы задачи, просьба уточнить, чтобы дополнительно адаптировать решение.