Найти :область определения функции y=x³-2x²+1/x²-1 сделать график функции и описать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти область определения функции ( y = \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 1} ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) функция будет определена, то есть необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю.

Знаменатель:
[
x^2 - 1 = 0
]
Решим это уравнение:
[
x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
]

Таким образом, функция не определена при ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

Область определения:
Область определения функции — это все действительные числа, кроме ( x = 1 ) и ( x = -1 ):
[
D = \mathbb{R} \setminus {-1, 1}
]

График функции:
Для построения графика функции необходимо определить её поведение. В частности, найти:

Нули функции: ( x^3 - 2x^2 + 1 = 0 )Вертикальные асимптоты (в данном случае, в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ))Горизонтальные асимптоты (если они есть)Поведение функции на промежутках между асимптотами.

Нули функции:
Найдем нули числителя:
[
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
]
Решение этого уравнения может потребовать численных методов или графического подхода. Однако, мы можем оценить, что один из корней находится между 0 и 1.

Асимптоты:

Вертикальные асимптоты: ( x = -1 ) и ( x = 1 )Горизонтальные асимптоты: ведем исследование предела при ( x \to \pm \infty ):
[
\lim{x \to \pm \infty} y = \lim{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty
]
То есть, горизонтальных асимптот нет.

График:
График функции можно нарисовать с помощью графопостроительных программ или вручную, используя найденные особенности (асимптоты, нули).

Описание графика:

Функция не определена в двух точках: ( x = -1 ) и ( x = 1 ).Функция стремится к ( +\infty ) при приближении к вертикальным асимптотам ( x = -1 ) и ( x = 1 ) с разных сторон.У функции есть по меньшей мере один корень между 0 и 1.Область определения выражается как все действительные числа, кроме ( -1 ) и ( 1 ).

Для более точного анализа и построения графика вам, возможно, понадобится использовать графический калькулятор или специализированное программное обеспечение (например, Desmos, GeoGebra и т.д.).