Домашнее задание по геометрии Определи площадь треугольника ABC, если AC = 16 см, ∠A=55°, ∠B=65°.
(Все приближённые числа в расчётах округли до десятитысячных, ответ округли до сотых).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади треугольника ABC, где известны две угла и одна сторона, можно использовать формулу через два угла и стоящую против них сторону. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

[
S = \frac{1}{2} a b \sin C
]

где ( a ) и ( b ) — стороны треугольника, а ( C ) — угол между ними.

В нашем случае известна сторона ( AC ) и два угла ( \angle A ) и ( \angle B ). Нам сначала нужно найти третий угол ( \angle C ):

[
\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ = 60^\circ
]

Теперь нам нужно найти длину стороны ( AB ) и ( BC ). Мы можем использовать закон синусов:

[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
]

Подставим известные значения:

[
\frac{16}{\sin(65^\circ)} = \frac{AB}{\sin(60^\circ)}
]

Сначала вычислим ( \sin(65^\circ) ) и ( \sin(60^\circ) ):

[
\sin(65^\circ) \approx 0.9063
]
[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660
]

Теперь подставим значения в формулу:

[
\frac{16}{0.9063} = \frac{AB}{0.8660}
]

Решим это уравнение для ( AB ):

[
AB = 16 \cdot \frac{0.8660}{0.9063} \approx 15.3071 \, \text{см}
]

Теперь находим сторону ( BC ):

[
\frac{16}{\sin(65^\circ)} = \frac{BC}{\sin(55^\circ)}
]

Посчитаем ( \sin(55^\circ) ):

[
\sin(55^\circ) \approx 0.8192
]

Подставим в формулу:

[
\frac{16}{0.9063} = \frac{BC}{0.8192}
]

Решая уравнение для ( BC ):

[
BC = 16 \cdot \frac{0.8192}{0.9063} \approx 14.4665 \, \text{см}
]

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади:

[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15.3071 \cdot \sin(60^\circ)
]

Подставим известные значения:

[
S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15.3071 \cdot 0.8660 \approx \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15.3071 \cdot 0.8660 \approx 105.5375 \, \text{см}^2
]

Итак, округляя до сотых, площадь треугольника ( S ) составляет:

[
\boxed{105.54} \, \text{см}^2
]