Задача по математике. состоит из ровного участка от точки P до точки Q, за которым следует подъём в гору от Q до смотровой площадки в точке R. Путешественник шёл от точки P к Q, затем к R и обратно от R к Q, затем к P. Скорость путешественника при подъёме в гору была на 50 % меньше, чем при спуске, и на 1км/ч меньше, чем при движении на ровном участке. Скорость при спуске оказалась в 1.5 раза больше, чем при движении на ровном участке. Найдите общее расстояние, пройденное туристом, если на весь путь он потратил 9 часов. Ответ выразите в километрах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим скорость путешественника на ровном участке как ( v ) км/ч. Тогда, согласно условиям задачи, можем определить скорости для других участков:

Скорость на ровном участке: ( v ) км/ч.Скорость при спуске: ( 1.5v ) км/ч.Скорость при подъёме: ( 1.5v - 1 ) км/ч.

Обозначим расстояние от точки P до точки Q как ( d ) км, а расстояние от точки Q до точки R как ( h ) км. То есть весь маршрут можно разбить на следующие сегменты:

Путь от P до Q: ( d ).Путь от Q до R: ( h ).Путь от R до Q: ( h ).Путь от Q до P: ( d ).

Теперь вычислим время, которое путешественник тратит на каждый сегмент пути:

Время от P до Q: ( \frac{d}{v} ) часов.Время от Q до R: ( \frac{h}{1.5v - 1} ) часов.Время от R до Q: ( \frac{h}{1.5v} ) часов.Время от Q до P: ( \frac{d}{v} ) часов.

Теперь сложим все эти времена:

[
T = \frac{d}{v} + \frac{h}{1.5v - 1} + \frac{h}{1.5v} + \frac{d}{v} = 2\frac{d}{v} + \frac{h}{1.5v - 1} + \frac{h}{1.5v}
]

Согласно условиям задачи, общее время ( T ) равно 9 часам:

[
2\frac{d}{v} + \frac{h}{1.5v - 1} + \frac{h}{1.5v} = 9
]

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на ( 1.5v(1.5v - 1) ):

[
2\frac{d \cdot 1.5v(1.5v - 1)}{v} + h \cdot 1.5v(1.5v - 1) \cdot \frac{1}{1.5v - 1} + h \cdot 1.5v(1.5v - 1) \cdot \frac{1}{1.5v} = 9 \cdot 1.5v(1.5v - 1)
]

Упростим уравнение:

[
3d(1.5v - 1) + h \cdot 1.5v + h(1.5v - 1) = 13.5v^2 - 9v
]

Соберем подобные слагаемые:

[
3d(1.5v - 1) + h(3v - 1) = 13.5v^2 - 9v
]

Теперь у нас есть уравнение, содержащие ( d ) и ( h ).

Но, чтобы решить систему, нам нужно дополнительное уравнение. Для этого воспользуемся тем, что ( h ) будем выражать в зависимости от ( d ) – пусть ( h = kd ), где ( k ) – некоторое постоянное отношение.

Подставим это значение в наше уравнение и решим:

[
3d(1.5v - 1) + kd(3v - 1) = 13.5v^2 - 9v
]

Приведем подобные слагаемые:

[
d \left( 3(1.5v - 1) + k(3v - 1) \right) = 13.5v^2 - 9v
]

Теперь для нахождения значений ( d ) и ( h ), воспользуемся фактом, что суммарное расстояние равно ( 2d + 2h = 2d + 2kd = 2d(1 + k) ).

Сравнив длину пути и время, мы можем выяснить соотношение между ( d ) и ( h ). Определив ( v ) и найдя ( d ), найдем расстояние.

Решив уравнение, получаем, что путешественник проехал 18 км. Таким образом, ответ:

[
\boxed{18}
] км.