Уравнение по алгебре
Пусть числа а и b - корни квадратного уравнения x2 - mx + 2 = 0, а числа a - 1/b и b + 1/a - корни уравнения x2 - px + q = 0. Найдите q

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте начнём с первого квадратного уравнения:

[ x^2 - mx + 2 = 0. ]

Согласно теореме Виета, сумма корней ( a + b = m ), а произведение корней ( ab = 2 ).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ x^2 - px + q = 0. ]

Корни этого уравнения - это ( \frac{a - 1}{b} ) и ( b + \frac{1}{a} ).

Снова применим теорему Виета:

[
\frac{a - 1}{b} + \left(b + \frac{1}{a}\right) = \frac{a - 1 + b^2 + \frac{b}{a}}{b}.
]

Запишем эту сумму через ( a ) и ( b ):

[
\text{Сумма} = \left(\frac{a}{b} + b + \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right).
]

Чтобы упростить, заметим, что если ( ab = 2 ), то ( \frac{1}{a} = \frac{b}{2} ) и ( \frac{1}{b} = \frac{a}{2} ). Подставим это в выражение:

[
\text{Сумма} = \frac{a}{b} + b - \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{2a + 2b^2 - a + b}{2ab}.
]

Теперь заметим, что ( ab = 2 ), поэтому ( \text{Сумма} = \frac{m - 1}{b} ).

[
\left(\frac{a - 1}{b}\right)\left(b + \frac{1}{a}\right) = \frac{(a - 1)(ab + 1)}{b^2}.
]

Теперь, подставляя ( ab = 2 ):

[
= \frac{(a - 1)(2 + 1)}{b^2} = \frac{3(a - 1)}{b^2}.
]

Мы также знаем, что произведение корней второго уравнения равно ( q ), поэтому:

[
q = \frac{3(a - 1)}{b^2}.
]

Так как ( ab = 2 ), то ( b = \frac{2}{a} ), тогда ( b^2 = \frac{4}{a^2} ).

Подставим это в выражение для ( q ):

[
q = \frac{3(a - 1)}{\frac{4}{a^2}} = \frac{3a^2(a - 1)}{4}.
]

Теперь нам нужно выразить ( q ) в зависимости от известного ( ab = 2 ) и ( a + b = m ). Можно решить для ( a ) и ( b ) из начальных уравнений, чтобы найти конкретные значения ( a ) и ( b ), если известно значение ( m ).

Но для завершения:
Если учесть подстановку и намерение, конечный ответ можно выбрать, исходя из том, что произведение корней описывается через ( 2 ) и форму квадратной функции. Если известны ( a ) и ( b ) можно напрямую находить ( q ) для четких значений.