Как найти углы? Как найти углы при основаниях произвольной трапеции, если известны все стороны?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти углы при основаниях произвольной трапеции, имея известные длины всех сторон, можно воспользоваться законом косинусов и некоторыми геометрическими свойствами трапеции.

Обозначим:

Постройте трапецию. Начертите трапецию ( ABCD ), где ( AB ) — верхнее основание, ( CD ) — нижнее основание.

Определите высоту. Пустите перпендикуляры из точек ( A ) и ( B ) на прямую ( CD ); назовем их ( AH ) и ( BG ) соответственно, где ( H ) и ( G ) — точки пересечения с ( CD ).

Определите длины отрезков. Обозначьте длины отрезков ( CH ) и ( DG ) как ( x ) и ( y ). Тогда можно записать:
[
x + y + a = b
]
или
[
y = b - a - x
]

Используйте теорему Пифагора. Для треугольников ( AHD ) и ( BCG ):
[
c^2 = h^2 + x^2
]
[
d^2 = h^2 + y^2
]
где ( h ) — высота трапеции.

Найдите ( h ). Из этих уравнений выразите высоту ( h ):
[
h^2 = c^2 - x^2
]
[
h^2 = d^2 - (b - a - x)^2
]

Решите систему уравнений. Подставьте одно уравнение в другое для нахождения ( x ). После нахождения ( x ) найдите соответствующие значения ( y ) и ( h ).

Найдите углы. Используйте закон косинусов для нахождения углов ( \angle DAB ) и ( \angle ABC ):
Для угла ( DAB ):
[
\cos(\angle DAB) = \frac{c^2 + a^2 - d^2}{2ca}
]
Для угла ( ABC ):
[
\cos(\angle ABC) = \frac{d^2 + b^2 - c^2}{2db}
]

Преобразуйте значение косинуса в угол. Используйте арккосинус для нахождения углов:
[
\angle DAB = \arccos\left(\frac{c^2 + a^2 - d^2}{2ca}\right)
]
[
\angle ABC = \arccos\left(\frac{d^2 + b^2 - c^2}{2db}\right)
]

Таким образом, вы можете находить углы при основаниях произвольной трапеции, используя известные длины сторон.