Для решения уравнения ( \frac{4}{x} = x - 3 ) графически, мы можем преобразовать его в две функции и найти их пересечения.
Первая функция: ( f(x) = \frac{4}{x} )Вторая функция: ( g(x) = x - 3 )
Теперь мы можем построить графики этих функций и определить точки их пересечения.
Шаг 1: Построение графиков.
График функции ( f(x) = \frac{4}{x} ):
Эта функция имеет вертикальную асимптоту при ( x = 0 ) и горизонтальную асимптоту при ( y = 0 ).При ( x > 0 ) функция стремится к бесконечности при ( x \to 0^+ ) и к ( 0 ) при ( x \to +\infty ).При ( x < 0 ) функция также стремится к бесконечности при ( x \to 0^- ) и к ( 0 ) при ( x \to -\infty ).
График функции ( g(x) = x - 3 ):
Это линейная функция с наклоном 1 и пересечением с осью ( y ) в точке -3.Имеет вид прямой, наклоненной вверх.
Шаг 2: Пересечение графиков.
Чтобы найти пересечения, нам необходимо решить уравнение:
[ \frac{4}{x} = x - 3. ]
Теперь упростим это уравнение:
Умножим обе стороны на ( x ) (при ( x \neq 0 )): [ 4 = x(x - 3) ] [ 4 = x^2 - 3x. ]Приведем уравнение к стандартному виду: [ x^2 - 3x - 4 = 0. ]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
Теперь можно решить это квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
Для решения уравнения ( \frac{4}{x} = x - 3 ) графически, мы можем преобразовать его в две функции и найти их пересечения.
Первая функция: ( f(x) = \frac{4}{x} )Вторая функция: ( g(x) = x - 3 )Теперь мы можем построить графики этих функций и определить точки их пересечения.
Шаг 1: Построение графиков.
График функции ( f(x) = \frac{4}{x} ):
Эта функция имеет вертикальную асимптоту при ( x = 0 ) и горизонтальную асимптоту при ( y = 0 ).При ( x > 0 ) функция стремится к бесконечности при ( x \to 0^+ ) и к ( 0 ) при ( x \to +\infty ).При ( x < 0 ) функция также стремится к бесконечности при ( x \to 0^- ) и к ( 0 ) при ( x \to -\infty ).График функции ( g(x) = x - 3 ):
Это линейная функция с наклоном 1 и пересечением с осью ( y ) в точке -3.Имеет вид прямой, наклоненной вверх.Шаг 2: Пересечение графиков.
Чтобы найти пересечения, нам необходимо решить уравнение:
[
\frac{4}{x} = x - 3.
]
Теперь упростим это уравнение:
Умножим обе стороны на ( x ) (при ( x \neq 0 )):[
4 = x(x - 3)
]
[
4 = x^2 - 3x.
]Приведем уравнение к стандартному виду:
[
x^2 - 3x - 4 = 0.
]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
Теперь можно решить это квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
[
a = 1, \quad b = -3, \quad c = -4.
]
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
]
Теперь находим корни:
[
x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}.
]
Таким образом, имеем два корня:
( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 )( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 )Шаг 4: Проверка решения.
Теперь проверим, подходят ли найденные корни под исходное уравнение:
Для ( x = 4: \, \frac{4}{4} = 4 - 3 ) → ( 1 = 1 ) (верно).Для ( x = -1: \, \frac{4}{-1} = -1 - 3 ) → ( -4 = -4 ) (верно).Таким образом, графически уравнение ( \frac{4}{x} = x - 3 ) имеет два решения: ( x = 4 ) и ( x = -1 ).