Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠C=120°, AC=13,5 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В ромбе все стороны равны, а его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и делят друг друга пополам. Известно, что одна из диагоналей — это длина AC, равная 13,5 см.

Так как диагонали пересекаются под углом 120° и делятся пополам, угол между диагоналями в точке их пересечения будет 60° (половина от 120°).

Обозначим точки пересечения диагоналей как O. Тогда AO = OC = 13,5 см / 2 = 6,75 см.

Также нам нужно найти длину стороны ромба. Обозначим сторону ромба как (a). В треугольнике AOB (где B — это одна из вершин ромба, например, точка B не находится на диагоналях):

Используем теорему косинусов:

[
AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 \cdot AO \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB).
]

Где (AO = 6,75) см, (OB) будет равен (AC/2) и угол ( \angle AOB = 60° ).

Получается:

( OB = \frac{AC}{2} = \frac{13,5}{2} = 6,75 ) см.

[
a^2 = AO^2 + OB^2 - 2 \cdot AO \cdot OB \cdot \cos(60°).
]

Подставим значения:

[
a^2 = 6,75^2 + 6,75^2 - 2 \cdot 6,75 \cdot 6,75 \cdot \frac{1}{2}.
]

Считаем:

[
a^2 = 45,5625 + 45,5625 - 45,5625.
]
[
a^2 = 45,5625.
]
[
a = \sqrt{45,5625} \approx 6,75 \text{ см}.
]

Теперь найдем периметр ромба:

[
P = 4a = 4 \cdot 6,75 = 27 \text{ см}.
]

Таким образом, периметр ромба ABCD равен (27) см.