15.7 Задача про взвешивания У Дани есть 8 внешне одинаковых монет, среди которых ровно одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Даня знает, какая из монет является фальшивой.
Вова хочет с помощью не более чем 2 взвешиваний на чашечных весах найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей. В качестве подсказки Вова может дать n конфет Дане (где n < 8), а Даня взамен укажет n монет, которые точно не тяжелее настоящей. При каком наименьшем n Вова сможет гарантированно осуществить задуманное?
В качестве ответа введите число.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи рассмотрим, какой минимальный ( n ) нужно дать Дане, чтобы с помощью 2 взвешиваний определить фальшивую монету и ее характер (тяжелее или легче).

Вова хочет выяснить, среди 8 монет одна фальшивая, причем требуется выяснить, легче она или тяжелее.

Первая возможность для Вовы — не давать никаких подсказок (то есть ( n = 0 )). Но в этом случае он рискует не узнать, какая монета фальшивая (поскольку из 8 и без подсказок 2 взвешивания недостаточно).

Попробуем ( n = 1 ). Если Вова даст Даня 1 конфету, Даня сможет указать 1 монету, которую можно считать настоящей. Таким образом, после первого взвешивания можно будет сравнить две группы — одну из 3 монет (1 настоящая + 2 непроверенные), и если их вес будет равным, то у нас останется 4 монеты для второго взвешивания. Это будет недостаточно для нахождения легче или тяжелее монеты.

Теперь рассмотрим ( n = 2 ). Если Вова даст Даня 2 конфеты, Даня сможет указать 2 монеты. Это позволяет Вове в первом взвешивании провести сравнение оставшихся 6 монет: 3 против 3. Если весы в первом взвешивании уравновешиваются, фальшивая монета будет среди двух оставшихся, и Вова сможет вскоре провести второе весы. Однако заранее не знаем, тяжелее ли она.

Теперь пробуем ( n = 3 ). Если Вова даст 3 конфеты, то есть у нас будет 5 монет для оставшихся манипуляций. Если в первом взвешивании весы уравновешены, фальшивая монета может оказаться в одной из двух оставшихся. Однако возможные ненастоящие не могут быть отсеяны далее.

Существенно важный момент: с ( n = 4 ) Вова гарантирует, что у него остается 4 веса и в этом случае он сможет разбить 4 оставшиеся монеты на 3 против одной, на каждую из сторон весов. Если же одна из оставшихся при этом тоже отсекается относительно последнего испытания, Вова сможет с помощью основного получения информации о фальшивой монете без необходимости использования лишнего н.

Анализируя все варианты, минимально необходимое количество конфет ( n = 4 ), позволяющее точно определить фальшивую монету и ее характер.

Таким образом, ответ на задачу: ( \boxed{4} ).