Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см, один из углов равен 60°. Найдите большую боковую сторону трапеции.
Без квадратных корней и тригонометрии

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи можно воспользоваться свойствами прямоугольной трапеции и законами подобия треугольников.

Обозначим:

(AB) — верхнее основание трапеции, (AB = 6\, \text{см});(CD) — нижнее основание трапеции, (CD = 8\, \text{см});(AD) и (BC) — боковые стороны, одна из которых (например, (AD)) будет большей, и угол (DAB = 60^\circ).

Сначала рассмотрим треугольник (DAB). Поскольку угол (DAB) равен (60^\circ) и (AB) параллельно (CD), мы можем провести перпендикуляр (AH) от точки (A) до продолжения линии (CD) (дорисуем (AH) перпендикулярно к (CD)). Тогда (H) — это основание перпендикуляра, и мы можем задать его координаты.

Так как (CD = 8\, \text{см}) и (AB = 6\, \text{см}), тогда длина отрезка (HD) будет равна:
[
HD = CD - AB = 8\, \text{см} - 6\, \text{см} = 2\, \text{см}.
]

Теперь в треугольнике (DAB) мы можем выразить (AD) (боковую сторону):

Обозначим высоту (AH) как (h).В этом треугольнике:
(DH = AH),(DA = AD = \sqrt{AH^2 + HD^2}).

Так как угол (DAB = 60^\circ):
[
\frac{AH}{HD} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3},
]
откуда найдем (AH):
[
AH = HD \cdot \tan(60^\circ) = 2\, \text{см} \cdot \sqrt{3}.
]

Теперь у нас имеются все значения:
[
AD = \sqrt{(AH)^2 + (HD)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4\, \text{см}.
]

Значит вошедшая величина (AD), как и боковая сторона (BC), равна (4\, \text{см}).

Таким образом, большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна (4) см.