Многочлен с целыми коэффициентами Известно, что P(a) = 1, P(b) = 2 и P(c) = 3 для некоторых целых a, b и c. Докажите, что существует
не более одного целого x, для которого P(x) = 5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( P(x) ) — многочлен с целыми коэффициентами, такой что ( P(a) = 1 ), ( P(b) = 2 ) и ( P(c) = 3 ) для некоторых целых ( a, b, c ).

Рассмотрим многочлен ( P(x) - 5 ). Нам нужно показать, что у него не более одной целой корни.

Мы можем записать:

[
P(a) - 5 = 1 - 5 = -4,
]

[
P(b) - 5 = 2 - 5 = -3,
]

[
P(c) - 5 = 3 - 5 = -2.
]

Теперь обозначим ( Q(x) = P(x) - 5 ). Получается:

[
Q(a) = -4, \quad Q(b) = -3, \quad Q(c) = -2.
]

Теперь, если ( x_1 ) и ( x_2 ) — целые числа, такие что ( Q(x_1) = 0 ) и ( Q(x_2) = 0 ), то:

[
Q(x_1) = P(x_1) - 5 = 0 \implies P(x_1) = 5,
]
[
Q(x_2) = P(x_2) - 5 = 0 \implies P(x_2) = 5.
]

Из этого следует, что ( Q(x_1) ) и ( Q(x_2) ) должны иметь разные значения в точках ( a, b, c ):

[
Q(a) = -4, \quad Q(b) = -3, \quad Q(c) = -2.
]

Теперь, по свойству непрерывности многочлена между значениями ( Q(a), Q(b) ) и ( Q(c) ), мы имеем следующие промежутки значений:

между ( Q(a) ) и ( Q(b) ): (-4) и (-3) (т.е. в промежутке между ними значения ( Q(x) ) не может приравняться к нулю),между ( Q(b) ) и ( Q(c) ): (-3) и (-2) (т.е. в промежутке также нет корней).

Следовательно, в каждом из этих промежутков значения не меняются с отрицательных на положительные или наоборот, а значит, не может быть двух целых решений у уравнения ( Q(x) = 0 ) (так как количество целых корней, заключённых между любыми двумя целыми числами, — не более одного по теореме о межцелочном промежутке).

Таким образом, мы заключаем, что ( P(x) = 5 ) имеет не более одного целого решения.

Следовательно, существует не более одного целого ( x ), для которого ( P(x) = 5 ).

Отсюда следует, что утверждение доказано.