Алгебра, действия с векторами Даны векторы ? = −?+ 5?, ? = −3?+ 2?+ 2?, ?= −2?− 4?+ ?.
Необходимо:
а) найти модуль векторного произведения векторов 7? и − 3с̅;
б) вычислить скалярное произведение двух векторов 2? и 3?;
в) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора ? и ?;
г) проверить, будут ли компланарны три вектора ?, ? и ?.̅

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим ваши векторы и выполним заданные операции.

Даны векторы:( \mathbf{a} = -\mathbf{i} + 5\mathbf{j} )( \mathbf{b} = -3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} )( \mathbf{c} = -2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + \mathbf{k} )а) Найдите модуль векторного произведения векторов ( 7\mathbf{a} ) и ( -3\mathbf{c} )

Сначала вычислим ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{c} ):
[
\mathbf{a} = -\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
]
[
\mathbf{c} = -2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + \mathbf{k}
]

Теперь умножим:
[
7\mathbf{a} = 7(-\mathbf{i} + 5\mathbf{j}) = -7\mathbf{i} + 35\mathbf{j}
]
[
-3\mathbf{c} = -3(-2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 6\mathbf{i} + 12\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
]

Теперь найдем векторное произведение ( \mathbf{u} = 7\mathbf{a} \times (-3\mathbf{c}) ):
[
\mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-7 & 35 & 0 \
6 & 12 & -3
\end{vmatrix}
]

Вычисляем детерминат:
[
\mathbf{u} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 35 & 0 \ 12 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -7 & 0 \ 6 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -7 & 35 \ 6 & 12 \end{vmatrix}
]

Вычисляем оставшиеся детерминанты:
[
\begin{vmatrix} 35 & 0 \ 12 & -3 \end{vmatrix} = (35)(-3) - (0)(12) = -105
]
[
\begin{vmatrix} -7 & 0 \ 6 & -3 \end{vmatrix} = (-7)(-3) - (0)(6) = 21
]
[
\begin{vmatrix} -7 & 35 \ 6 & 12 \end{vmatrix} = (-7)(12) - (35)(6) = -84 - 210 = -294
]

Теперь подставим значения:
[
\mathbf{u} = -105\mathbf{i} - 21\mathbf{j} - 294\mathbf{k}
]

Модуль векторного произведения:
[
|\mathbf{u}| = \sqrt{(-105)^2 + (-21)^2 + (-294)^2} = \sqrt{11025 + 441 + 86436} = \sqrt{97802}
]

б) Вычислите скалярное произведение двух векторов ( 2\mathbf{a} ) и ( 3\mathbf{b} )

Сначала умножим:
[
2\mathbf{a} = 2(-\mathbf{i} + 5\mathbf{j}) = -2\mathbf{i} + 10\mathbf{j}
]
[
3\mathbf{b} = 3(-3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = -9\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
]

Теперь скалярное произведение:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2)(-9) + (10)(6) + (0)(6) = 18 + 60 + 0 = 78
]

в) Проверка на коллинеарность или ортогональность векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} )

Для проверки коллинеарности векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) их скалярное произведение должно быть равно нулю или одно из них является кратным другому. Мы проверяем нормализованные векторы:
[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -1 \ 5 \ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \ 2 \end{pmatrix}
]
Найдите ( k ), такое что ( \mathbf{a} = k\mathbf{b} ) (или наоборот). В данном случае видно, что не все коэффициенты одинаковые, значит, они не коллинеарны.

Скалярное произведение:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -1 \cdot -3 + 5 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 3 + 10 + 0 = 13
]
Если результат не равен нулю, векторы не ортогональны.

г) Проверка компланарности трех векторов ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )

Для проверки компланарности трех векторов, нам нужно найти детерминант, который равен:
[
\begin{vmatrix}
-1 & 5 & 0 \
-3 & 2 & 2 \
-2 & -4 & 1
\end{vmatrix}
]

Можно вычислить этот детерминант:
[
= -1 \begin{vmatrix} 2 & 2 \ -4 & 1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} -3 & 2 \ -2 & 1 \end{vmatrix} + 0
]
[
= -1 (2 \cdot 1 - 2 \cdot -4) - 5 (-3 \cdot 1 - 2 \cdot -2)
= -1(2 + 8) - 5 (-3 + 4)
= -10 + 5
= -5
]

Детерминант не равен нулю, следовательно, векторы не компланарны.

Резюме:

а) Модуль векторного произведения ( |\mathbf{u}| = \sqrt{97802} ) \
б) Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 78 ) \
в) Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) не коллинеарны и не ортогональны. \
г) Векторы ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) не компланарны.